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[涨姿势] 如何理解四维空间中的超立方体?

作者:蓝扬日期:2019-08-25 分类:涨姿势

本文所指的四维空间,并不是指三维空间+一维时间组成的四维时空,单纯指的是具有四个维度的超空间。

人们可以很容易地想象出三维空间的三个轴:上下,左右和前后。沿着这三个方向可以做出三条两两垂直的轴线。但是我们在哪里放第四轴来表示一个四维空间呢?

很遗憾,在我们生活的三维空间,这是不可能实现的,我们的大脑也无法想象四维物体。但是,我们可以用低维度空间类比、推导、归纳的方式侧面了解四维空间以及四维物体的基本性质。

我们就拿大家最熟悉的一个三维形状——各个边长都为 L 的正立方体来说,看看它在其他维度中对应什么样的形状。

一维直线

立方体在一维空间(如果也能称之为空间)对应一条线段,它可以看做是通过把一个无量纲的点拖动距离 L 而形成的。 这条线段只有一个参数——长度 L,它的边界是两个点。

一维线段

二维方形

把线段向垂直于自身的第二维度上拖动距离 L 形成了一个正方形。它的边界是 4 条线段,它的周长是 4 L,面积是 L2。

二维正方形

三维立方体

为了形成立方体,我们把正方形向垂直于自身的第三维中拖动距离 L。它的边界是 6 个面,具有 12 条棱,8 个顶点。它的表面积是 6L^2,它的体积是 L^3。

三维立方体

四维超立方体

到目前为止,1 - 3 维的立方体对应物的想象和理解对我们来说没有什么挑战性。 第四个维度的建立同样可以系统地重复上面的每一步。 区别是,这次我们不能轻易形成直观的心理图景。 但我们可以推导出超立方体的所有属性!

为了形成一个超立方体,我们采用立方体并在第四维中拖动距离 L ,我们无法准确地想象出它的样子,但它是这样的:

四维超立方体

或者也可以这样理解,在三维轴线上再加一条轴线(红色的):

四维的四条垂直轴线

继续上面的推导,超立方体是由 16 个顶点,32 条长为 L 的棱,24 个面积为 L^2 的面, 8 个体积为 L^3 的立方体组成的。它的『体积』(实际上叫做 超体积)为 L^4, 它的边界是 8 个体积为 L^3的立方体,所以超立方体的『表面积』是 8L^3 (实际上就是三维体积)。

所以虽然无法想象,现在我们似乎知道有关超立方体的所有信息!

各个维度基本形状属性的对比

我们可以总结一下超立方体属性的发展如下:

根据这个表格很有规律!我们甚至可以推断五维超超立方体、六维超超超立方体……的一些基本属性不是吗?

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